포물선 운동

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1. 개요2. 분석
2.1. 심화 분석2.2. 벡터 분석법
3. 라그랑주 역학을 이용한 분석4. 공기 저항을 고려한 분석5. 여담6. 관련 문서

1. 개요 [편집]

중력장에서 물체를 투사했을 때, 포물선 궤도를 그리며, 운동하는 것을 포물선 운동(Projectile motion, 抛物線運動)이라 한다.

초급 수준의 물리학에서 1차원 등가속도 운동 다음으로 차원을 높일 때 거론되는 것이 이 포물선 운동으로, 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이다.

이 문서는 가속도 개념과 등가속도 운동 문서의 결과를 모두 숙지하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 가속도 개념이나 등가속도 운동에 미숙한 위키러들은 선수학습으로, 해당 문서의 내용 먼저 파악하고 오길 바란다.

2. 분석 [편집]

우선 공기 저항을 포함한 모든 마찰을 무시한 경우를 보고자 한다. 분석의 용의성을 위해 3차원 상에서 분석을 할 수도 있지만, 2차원으로만 분석하였다.

아래와 같이 v0\mathbf{v}_{0}의 속도로 xx축[1]과 θ\theta의 각으로 물체가 투사된 상황을 고려하자. 이때, 모든 마찰을 무시한다면, 물체는 포물선 궤도로 나아가게 된다. A, B\mathrm{A,\,B}는 각각 궤도의 최고점, O\mathrm{O}에서 투사된 후 다시 xx축에 도달한 점이다. H\mathrm{H}는 점 A\mathrm{A}에서 xx축에 내린 수선의 발이다.

파일:나무_포물선운동.png

질량 mm의 물체는 yy축 방향으로 알짜힘인 중력 g=−mgy^\mathbf{g}=-mg \hat{\mathbf{y}}만을 받는다. 따라서 물체는 yy축으로 가속도 a=−gy^\mathbf{a}=-g \hat{\mathbf{y}}인 등가속도 운동하며, xx축 방향으로의 알짜힘은 없으므로 등속도 운동할 것이다.

물체는 O\mathrm{O}에서 투사되고, 최고점 A\mathrm{A}에 도달한 후 다시 B\mathrm{B}로 떨어지는 시간 동안만 포물선 운동한다. 그런데 물체에 작용하는 비보존력이 없기 때문에 물체의 역학적 에너지는 보존되고, 결국 이는 물체의 속도 크기는 O\mathrm{O}와 B\mathrm{B}에서 같아야 함을 의미한다. xx축 방향은 등속도 운동하기 때문에 O\mathrm{O}와 B\mathrm{B}에서 속도의 xx성분은 같다. 그런데, yy축으로는 중력 가속도의 크기로 등가속도 운동하기 때문에 결국 B\mathrm{B}에서 속도의 yy성분은 크기는 같으나, 부호는 반대가 된다. O\mathrm{O}에서 투사될 때, 초기속도의 yy 성분은

v0⋅y^=v0sin⁡θ\displaystyle \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{y}}=v_{0}\sin{\theta}

임을 고려하면, 결국 구하는 시간 TT는

−v0sin⁡θ=−gT+v0sin⁡θ\displaystyle -v_{0}\sin{\theta}=-gT+v_{0}\sin{\theta}

에서

T=2v0sin⁡θg\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin{\theta}}{g}

가 된다.

다음으로, 수평 도달 거리라 부르는, 물체가 투사된 후 다시 xx축에 닿을 때까지 이동한 xx축 상의 거리 OB‾≡R\overline{\mathrm{OB}} \equiv R를 구해보자. 물체는 xx축으로 등속도 운동하고, 투사될 때 초기속도의 xx 성분은

v0⋅x^=v0cos⁡θ\displaystyle \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}=v_{0}\cos{\theta}

임을 고려하면, 물체는 포물선 운동하는 시간 TT 동안만 운동하므로,

R=v0Tcos⁡θ=v02sin⁡2θg\displaystyle \begin{aligned} R&=v_{0}T\cos{\theta} \\ &=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} \end{aligned}

이 된다. 여기서 삼각함수 항등식 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin{2 \theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}를 썼다.

또, 최고점 높이 AH‾≡H\overline{\mathrm{AH}} \equiv H를 구하자. 이것은 O→A\mathrm{O \to A}로 운동할 때, yy축 방향의 운동만 고려함으로써 쉽게 구할 수 있다. 점 O\mathrm{O}에서 물체는 초기속도 yy 성분 v0sin⁡θ\displaystyle v_{0}\sin{\theta} 을 가지고 있었고, 최고점 A\mathrm{A}에 도달하면, 여기서 속도의 yy 성분은 없다. 따라서

−2gH=0−v02sin⁡2θ\displaystyle -2gH=0-v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}

이상을 정리하면,

H=v02sin⁡2θ2g\displaystyle H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2g}

으로 구해진다.

마지막으로는 궤도 방정식을 구하자. 이상의 내용을 잘 이해했다면, 물체의 위치는 시간의 매개변수로,

x(t)=v0tcos⁡θy(t)=v0tsin⁡θ−12gt2\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=v_{0}t\cos{\theta} \\ y(t)&=v_{0}t\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^{2} \end{aligned}

로 나타낼 수 있음을 얻는다. 이 두 식에서 tt를 소거함으로써 다음의 궤도 방정식을 얻는다:

y(x)=xtan⁡θ−gx22v02cos⁡2θ\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}}

결과로써도 궤도는 포물선임을 얻는다.

또한, 속도는 위치의 미분이므로, 포물선 운동 중 물체 속도의 xx축, yy축 성분은 각각의 좌표의 시간 미분이므로

x˙=v0cos⁡θy˙=v0sin⁡θ−gt\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}&=v_{0}\cos{\theta} \\ \dot{y}&=v_{0}\sin{\theta}-gt \end{aligned}

속도의 크기는

v=x˙2+y˙2\displaystyle v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}

을 얻는다.

아래는 이상의 내용을 요약한 것이다.
  • 포물선 운동 시간

    T=2v0sin⁡θg\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin{\theta}}{g}
  • 수평 도달 거리

    R=v02sin⁡2θg\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g}
  • 최고점 높이

    H=v02sin⁡2θ2g\displaystyle H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2g}
  • 궤도 방정식

    y(x)=xtan⁡θ−gx22v02cos⁡2θ\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}}

첨언하면, 위의 포물선 운동은 가장 초급적이고, 이상적인 경우를 다뤘음에 유의하여야 한다. 실제론 B\mathrm{B}에 도달했을 때, 물체의 운동을 방해하는 요소가 없다면, 물체는 궤도 방정식을 따라 계속 포물선 운동한다. 아래의 그림을 참조하자.

파일:나무_포물선운동_추후운동.png

또한, 위의 공식들은 최고점을 기준으로 궤도가 대칭적일 때만 쓸 수 있다는 것에 유의해야 한다. 예를 들어, 위 상황에서 B\mathrm{B} 이후의 운동은 위의 공식들로 분석할 수 없으며, 포물선 운동 특징인 yy축으로 중력 가속도 크기로, 등가속도 운동하며, xx축 방향으로는 등속도 운동함을 이용하여 분석하여야 한다.

2.1. 심화 분석 [편집]

여러 가지 수학적 분석을 통해 포물선 운동의 특성을 파악해볼 수 있다. 우선적으로, 초기 속력이 같게 투사되었을 때, 수평 도달 거리가 최대가 되는 각을 찾고자 한다.

R=v02sin⁡2θg\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g}

그런데, 가능한 θ\theta[2] 중에서 0≤sin⁡2θ≤10 \leq \sin{2\theta} \leq 1임을 고려하면, 가능한 최댓값은 sin⁡2θ=1 \sin{2\theta}= 1일 때,

R=v02g\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}}{g}

가 되고, 결국 찾는 θ=π/4\theta=\pi/4임을 얻는다.

또한, θ+θ′=π/2\theta+\theta'=\pi/2를 만족하는 두 각이 있다고 가정하자. 이때, θ′\theta'로 투사한 경우, θ′=π/2−θ\theta'=\pi/2-\theta으로 쓸 수 있어, 해당 각으로 투사한 경우,

R′=v02sin⁡2θ′g=v02sin⁡(π−2θ)g\displaystyle R'=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta'}}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin{(\pi-2\theta)}}{g}

이다. 그런데, θ′\theta'로 투사한 경우의 수평 도달 거리는

R=v02sin⁡2θg\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g}

이었으므로 sin⁡(π−2θ)=sin⁡2θ\sin{(\pi-2\theta)}=\sin{2\theta}임을 이용하면,

R=R′\displaystyle R=R'

을 만족하므로 이 결과는 θ+θ′=π/2\theta+\theta'=\pi/2를 만족하는 두 각으로 던졌을 때, 수평 도달 거리는 같음을 얻는다.[3]

궤도 방정식

y(x)=xtan⁡θ−gx22v02cos⁡2θ\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}}

을 분석하는 것에서도 꽤 흥미로운 결과를 얻는다. 위 식 중 xtan⁡θx\tan{\theta}는 잘 알듯, 원점을 지나면서 xx축과 양의 방향으로 θ\theta만큼의 각을 갖는 직선의 방정식이다. 또한 원점에서 궤도의 접선은 이 직선이 되는데, 이 직선 위의 점의 yy좌표에서

gx22v02cos⁡2θ\displaystyle \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}}

만큼 뺀 값이 결국 포물선 궤도 위의 점의 yy좌표 값이 된다. 이것을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

파일:나무_포물선운동_기하학적분석_수정_수정.png

이 궤도 방정식을 분석한 것을 쓰면, 쉽게 풀리는 문제가 수능 모의고사에 출제된 적있다. 아래는 2016년 6월 대학수학능력시험 모의고사 물리Ⅱ 20번 문항이다. 풀어볼 위키러들은 풀어보도록 하자.
[ 해당 문제 ]

2.2. 벡터 분석법 [편집]

이제 3차원의 포물선 운동을 표현해보고자 한다. 삼차원 상은 벡터로 분석하는 것이 훨씬 효과적이며 표현하기도 쉽다.

아래와 같이 중력장 안에서 물체가 포물선 운동을 원점 O\mathrm{O}에서 시작한 경우를 생각해보자. 단, 중력 가속도 벡터 g=gg^\mathbf{g}=g\hat{\mathbf{g}} 임에 유의하자.

파일:나무_벡터_포물선 운동_수정.png

그리고, 궤도 위의 한 점 P\mathrm{P}인 경우에서 먼저 속도 벡터 v\mathbf{v}를 분석하는 것으로 부터 시작하자. 이에 앞서 g⋅T=0\mathbf{g} \cdot \mathbf{T}=0이 성립하는 T^\hat{\mathbf{T}} 를 택하자. 편의 상 T^\hat{\mathbf{T}}는 포물선 운동하는 방향[5] 쪽이 되게 잡는다. 위 그림을 참고하자.

P\mathrm{P}에서 속도 벡터는 아래와 같이 분해 가능하다.

v=vg+vT\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v_{g}}+\mathbf{v_{T}}

여기서 vg\mathbf{v_{g}}는 중력장 벡터 g\mathbf{g}와 평행한 성분, vT\mathbf{v_{T}}는 T\mathbf{T}와 평행한 성분이다. 포물선 운동의 특성[6]을 생각한다면, 쉽게

v=[(v0⋅−g^)(−g^)+gt]−(v0⋅T^)T^\displaystyle \mathbf{v}=[(\mathbf{v}_{0} \cdot -\hat{\mathbf{g}})(-\hat{\mathbf{g}})+\mathbf{g} t] -(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}})\hat{\mathbf{T}}

임을 알 수 있고, 이것을 다시 쓰면,

v=g^(v0⋅g^+gt)+T^(v0⋅T^)\displaystyle \mathbf{v}=\hat{\mathbf{g}} (\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}+gt)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}})

따라서 만약 O\mathrm{O}에서 P\mathrm{P}까지 tt만큼 걸렸다면, 점 P\mathrm{P}를 기술하는 위치 벡터 s\mathbf{s}를 찾을 수 있다.

s=∫0tv dt=g^(v0⋅g^t+12gt2)+T^(v0⋅T^t)\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}&=\int_{0}^{t} \mathbf{v} \,dt \\ &=\hat{\mathbf{g}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}t+\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}}t) \end{aligned}

따라서 이것이 포물선 운동을 벡터로 기술한 것이다. 그런데 우리가 통상적으로 쓰는 g=−gy^\mathbf{g}=-g\hat{\mathbf{y}}를 사용하고, 이를 2차원에 국한시켜 T^=x^\hat{\mathbf{T}}=\hat{\mathbf{x}}을 사용한다면,

s=y^(v0⋅y^t−12gt2)+x^(v0⋅x^t)\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}=&\hat{\mathbf{y}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{x}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}t) \end{aligned}

으로 맨 위에서 분석했던 결과와 같은 결과를 얻음을 알 수 있다.

3. 라그랑주 역학을 이용한 분석 [편집]

라그랑주 역학을 이용한 분석을 해보도록 하자. 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이므로 두 일반화 좌표 x, yx,\,y로 기술해도 무리가 없다. 이에 대한 일반화 속도는 x˙, y˙\dot{x},\,\dot{y}이다.

물체의 퍼텐셜 에너지는 중력에 의한 것만 있으므로

U=mgy\displaystyle U=mgy

이고, 운동 에너지는 물체의 속도의 크기 ∣v∣=x˙2+y˙2|\mathbf{v}|=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}로 쓸 수 있음을 고려하면,

T=12m(x˙2+y˙2)\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})

따라서 물체의 라그랑지안은

L=T−U=12m(x˙2+y˙2)−mgy\displaystyle \mathscr{L}=T-U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) - mgy

이다.

오일러 - 라그랑주 방정식을 이용해, 각 축의 운동 방정식을 나타낼 수 있다. 즉,

∂L∂xi−ddt(∂L∂x˙i)=0\displaystyle \frac{\partial \mathscr L}{\partial x_{i}} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot{x}_{i}} \right) = 0

을 이용하면,

{x¨=0y¨=−g\displaystyle \begin{cases} \ddot{x}=0 \\ \ddot{y}=-g \end{cases}

으로, 결국 초급적인 방법으로 분석할 때, 언급했던 포물선 운동 특징인, yy축으로 중력 가속도 크기로, 등가속도 운동하며, xx축 방향으로는 등속도 운동함이 여기서도 나온 것이다.

4. 공기 저항을 고려한 분석 [편집]

이제 현실과 가장 유사한 케이스를 고려할 것이다[7]. 즉, 공기 저항을 고려할 것이다. 우선적으로, 이러한 공기 저항이 물체의 운동량에 비례한다고 놓을 것이다. 즉, 마찰력을 −mkv-mk \mathbf{v}으로 놓는다. 여기서 kk는 공기 저항 계수가 될 것이다. 이때, 속도는 각 축의 성분으로 분해할 수 있고,

v=x˙x^+y˙y^\displaystyle \mathbf{v}=\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+ \dot{y} \hat{\mathbf{y}}

결국 이것은 마찰력 또한 각 축의 성분으로 분해될 수 있음을 얻는다.

다음의 초기 조건을 안다.

x(t=0)=0y(t=0)=0x˙(t=0)=v0cos⁡θ≡Vy˙(t=0)=v0sin⁡θ≡W\displaystyle \begin{aligned} x(t=0)&=0 \\ y(t=0)&=0 \\ \dot{x}(t=0)&=v_{0}\cos{\theta} &&\equiv V \\ \dot{y}(t=0)&=v_{0}\sin{\theta} &&\equiv W \end{aligned}

따라서 각 축에 대한 운동 방정식을 아래와 같이 세울 수 있음을 얻는다

mx¨=−mkx˙my¨=−mg−mky˙\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}&=-mk \dot{x} \\ m\ddot{y}&=-mg-mk \dot{y} \end{aligned}

이 미분 방정식을 품으로써 물체의 위치는 결정된다:

x=Vk(1−e−kt)y=−gtk+kW+gk2(1−e−kt)\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kt} ) \\ y&=-\frac{gt}{k}+\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kt} ) \end{aligned}

이 결과에서 눈여겨 봐야하는 것은 모든 축 방향의 운동이 가속도 운동이라는 것이다.[8]

이 조건에서 물체가 포물선 운동하는 시간은 t=T (T≠0)t=T\,(T \neq 0)일 때, y=0y=0이 되는 시간을 찾으면 된다. 즉,

gTk=kW+gk2(1−e−kT)\displaystyle \frac{gT}{k}=\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kT} )

의 방정식을 풀면 된다. 그러나 이 방정식은 해석적인 해를 갖지 않기 때문에 수치계산이나 섭동법을 이용해야 한다.

만약, 우리가 수치계산이나 섭동법을 통해 포물선 운동 시간 TT을 구했다고 하자. 그렇다면, 수평 도달 거리는 R=x(t=T)R=x(t=T) 가 되므로

R=Vk(1−e−kT)\displaystyle R=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kT} )

으로 구할 수 있다.

아래는 θ=π/4\theta=\pi/4, v0=200 m/sv_{0}=200\,\mathrm{m/s}일 때 여러 kk에 대해 궤도를 시뮬레이션 해본 것이다.

파일:나무_마찰고려_포물선운동_수정.png

k=0k=0 즉, 적색 궤도는 공기 저항을 고려하지 않았을 때이며, 공기 저항 계수가 커질 수록 수평 도달 거리는 줄어드는 것을 알 수 있다. 다음[9]을 참고하자:

파일:나무_마찰고려_포물선운동_수평도달거리.png

참고로, k≪1k \ll 1일 때를 가정하여, 이 과정을 섭동으로 풀 수도 있다. 그러나 계산이 매우 복잡한 결과로 섭동으로 푼 결과를 보고 싶은 위키러들은 고전역학 책을 볼 것을 권한다.

5. 여담 [편집]

  • 중력장에서의 포물선 운동만 고려했지만, 실제론 전기장 등에서도 이러한 운동이 가능하다.
  • 이 포물선 궤도는 중심력장에서도 가능한데, 일정 조건만 만족하면 소행성이 항성을 한 초점으로 하여 포물선 궤도로 운동할 수도 있다.
  • 수능 등에서는 고난도 문항으로 출제되고 있으며, 항상 한 정보만 알면 쉽게 풀 수 있는데도 불구하고 그것을 주지 않아 어려워지거나 여러 운동 상황과 섞는 등으로 난이도가 급상승하는 경우가 많다. 더군다나, 포물선 운동 자체가 등가속도 운동과 등속도 운동 두 항목에 대한 이해도를 효율적으로 물을 수 있으므로 출제자 입장에서는 사랑할 수밖에 없고, 이에 난이도가 어렵게 출제될 수밖에 없다.

6. 관련 문서 [편집]

[1] 수평면이라고도 할 수 있을 것이다.[2] 0<θ<π/20< \theta <\pi/2[3] 다만, 최고점 높이는 상이함에 유의하자.[정답] ② (경사면에 수직으로 입사했다는 조건에 주의하자.)[5] 정확히 말하면 투사체가 던져진 방향.[6] 중력 가속도와 평행한 축은 중력 가속도로 등가속도 운동, 중력 가속도와 수직인 축은 등속도 운동[7] 저항력이 속도에 비례하는 꼴의 식은 물체가 상당히 작을때 적용되는 식이고, 야구공처럼 표면적 및 질량이 큰 물체라면 저항력이 속도의 제곱에 비례하는 식을 사용해야 한다. 2차원 포물선 운동 상황이라면 해석학적으로 해를 구할 수 없다.[8] 각 위치를 시간에 대해 이차미분해보라.[9] 조건은 위의 궤도를 구할 때와 같고, 수치계산을 이용하였다.

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